Question

6．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₃=4，且a₃是a₂+4與a₄+14的等差中項；數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₂=16，其前n項和T_n滿足T_n=nλ•b_n+1（λ為常數(shù)，且λ≠1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式及λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)即可得出a_n．
（2）T_n=nλ•b_n+1（λ為常數(shù)，且λ≠1），可得b₁，b₃，利用2b₂=b₁+b₃，即可解出λ．再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₃=4，且a₃是a₂+4與a₄+14的等差中項，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{2×4={a}_{1}q+4+{a}_{1}{q}^{3}+14}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=16}\\{q=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴a_n=（-2）^n-1，或a_n=$16×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（-\frac{1}{2}）^{n-5}$．
（2）T_n=nλ•b_n+1（λ為常數(shù)，且λ≠1），
∴b₁=T₁=λb₂=16λ，
b₁+b₂=2λb₃，可得b₃=8+$\frac{8}{λ}$，（λ≠0）．
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴2b₂=b₁+b₃，
∴2×16=16λ+8+$\frac{8}{λ}$，λ≠1．
解得λ=$\frac{1}{2}$．
∴b₁=8，公差d=b₂-b₁=8．
∴b_n=8+8（n-1）=8n．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．