Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1），x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，方程f²（x）+mf（x）=0（m∈R）有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{e}$）
• B． （-$\frac{1}{e}$，0）
• C． （-$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 求出當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值，作出函數(shù)f（x）的圖象，判斷函數(shù)f（x）=t的根的情況，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-xe^x，
則f′（x）=-（x+1）e^x，
由f′（x）=0得x=-1，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
即當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，此時(shí)f（-1）=$\frac{1}{e}$，
且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=ln（x+1）≥0，
設(shè)t=f（x），
則當(dāng)t=$\frac{1}{e}$時(shí)，方程t=f（x）有兩個(gè)根，
當(dāng)t＞$\frac{1}{e}$或t=0時(shí)，方程t=f（x）有1個(gè)根，
當(dāng)0＜t＜$\frac{1}{e}$時(shí)，方程t=f（x）有3個(gè)根，
當(dāng)t＜0時(shí)，方程t=f（x）有0個(gè)根，
則方程f²（x）+mf（x）=0（m∈R）等價(jià)為t²+mt=0，
即t=0或t=-m，
當(dāng)t=0時(shí)，方程t=f（x）有1個(gè)根，
∴若方程f²（x）+mf（x）=0（m∈R）有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則等價(jià)為t=f（x）有3個(gè)根，
即0＜-m＜$\frac{1}{e}$，得-$\frac{1}{e}$＜m＜0，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)根的個(gè)數(shù)的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的取值范圍，利用換元法和圖象法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．