Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）函數(shù)y=f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）設l為曲線C：y=f（x）在點（1，0）處的切線，證明：除切點（1，0）之外，曲線C在直線l的下方．

Answer 1

分析 （1）求導f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，從而可得f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減；從而求得a≥e．
（2）可知切線l的方程為y=x-1；再令g（x）=x-1-f（x），從而可得?x＞0且x≠1，g（x）＞0，求導g′（x）=1-f′（x）=$\frac{{{x^2}-1+lnx}}{x^2}$，從而證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減；
又∵函數(shù)y=f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞減，
∴a≥e．
（2）證明：由（1）知，f′（1）=1，
所以l的方程為y=x-1；
令g（x）=x-1-f（x），
∵除切點外曲線C在直線l的下方，
∴?x＞0且x≠1，g（x）＞0，
而g（x）滿足g（1）=0，且g′（x）=1-f′（x）=$\frac{{{x^2}-1+lnx}}{x^2}$，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，故g（x）單調(diào)遞減，
當x＞1時，g′（x）＞0，故g（x）單調(diào)遞增；
所以對?x＞0且x≠1，g（x）＞g（1）=0；
所以除切點外，曲線C在直線的下方．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及導數(shù)的幾何意義的應用，屬于中檔題．