Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）
（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最大、最小值；
（2）設(shè)g（x）=f（x+a），若g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求實(shí)數(shù)a的最小正值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式對(duì)原函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)求得函數(shù)的最大最小值，以及單調(diào)區(qū)間．
（2）先確定g（x）的解析式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得a的最小值．

解答 解（1）f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+sin（$\frac{π}{3}$+4x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為-2，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，求得遞減區(qū)間[$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得遞增區(qū)間[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）．
（2）g（x）=2sin[4（x+a）+$\frac{π}{3}$]，
圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，得到g（x）=2cos4x，
則4a+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴a=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z．
∴a最小正值$\frac{π}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．注意在解題過(guò)程中與函數(shù)的圖象相結(jié)合．