Question

10．設(shè)實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥|x-1|}\\{y≤-|x|+2}\end{array}\right.$，當(dāng)且僅當(dāng)x=0，y=2時，ax+y取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（-1，1），直線ax+y-2=0的傾斜角范圍是[0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}，π$）．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，根據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)x=0，y=2時，ax+y取得最大值求出實數(shù)a的取值范圍，再由直線的傾斜角與斜率的關(guān)系求得線ax+y-2=0的傾斜角范圍．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥|x-1|}\\{y≤-|x|+2}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

令z=ax+y，化為y=-ax+z，
∵當(dāng)且僅當(dāng)x=0，y=2時，z=ax+y取得最大值，
則-1＜-a＜1，即-1＜a＜1．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-1，1）；
∴直線ax+y-2=0的斜率-a∈（-1，1）．
則直線ax+y-2=0的傾斜角范圍是[0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}，π$）．
故答案為：（-1，1）；[0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}，π$）．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，是中檔題．