Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BCD=120°，M為側棱PD的三等分點（靠近D點），O為AC，BD的交點，且PO⊥面ABCD，PC=2．
（1）若在棱PD上存在一點N，且BN∥面AMC，確定點N的位置，并說明理由；
（2）求三棱錐A-PMC的體積．

Answer 1

分析 （1）連結OM，BN，根據線面平行的性質得出BN∥OM，故$\frac{DO}{DB}=\frac{DM}{DN}$=$\frac{1}{2}$，所以N為PD的另一個三等分點；
（2）由菱形的性質可得OC=$\frac{1}{2}$AC=1，由勾股定理求出PO，于是V_棱錐A-PMC=V_棱錐P-ACD-V_棱錐M-ACD=$\frac{2}{3}$V_棱錐P-ACD．

解答 解：（1）連結OM，BN，
∵BN∥面AMC，BN?平面BDN，平面BDN∩平面ACM=OM，
∴BN∥OM，
∴$\frac{DO}{DB}=\frac{DM}{DN}$=$\frac{1}{2}$，
∵M是PD靠近D的三等分點，∴N是PD靠近P點的三等分點．
（2）∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BCD=120°，
∴AO=OC=1，△ACD是等邊三角形．∴S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{C}^{2}$=$\sqrt{3}$．
∵PO⊥面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PO⊥AC，∴PO=$\sqrt{P{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵M是靠近D點的三等分點，∴M到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{3}$PO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴V_棱錐A-PMC=V_棱錐P-ACD-V_棱錐M-ACD=$\frac{1}{3}$S_△ACD•PO-$\frac{1}{3}$S_△ACD•$\frac{1}{3}$PO=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查了線面平行的性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．