Question

13．已知邊長為3的正三角形ABC的三個頂點都在半徑為2的球O的球面上，則點O到平面ABC的距離為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設正△ABC的中心為O₁，連結O₁O、O₁C、O₁D、OD．根據球的截面圓性質、正三角形的性質與勾股定理，結合題中數據能求出結果．

解答 解：設正△ABC的中心為O₁，連結O₁O、O₁C、O₁D、OD，
∵O₁是正△ABC的中心，A、B、C三點都在球面上，
∴O₁O⊥平面ABC，結合O₁C?平面ABC，可得O₁O⊥O₁C，
∵邊長為3的正三角形ABC中，O₁C=$\frac{2}{3}\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∵Rt△O₁OC中，O₁C=$\sqrt{3}$，OO₁⊥O₁C，球的半徑OC=R=2，
∴球心O到平面ABC的距離O₁O=$\sqrt{{R}^{2}-{O}_{1}{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1．
故選：A．

點評 本題已知球的內接正三角形與球心的距離，求經過正三角形中點的最小截面圓的面積．著重考查了勾股定理、球的截面圓性質與正三角形的性質等知識，屬于中檔題．