Question

6．過點（2，-2）且以$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$為漸近線的雙曲線方程是（　�。�

• A． $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
• C． $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{2}=1$
• D． $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 由已知可設(shè)雙曲線的方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由于過點（2，-2）且以$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$為漸近線，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1}\\{\frac{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由已知可設(shè)雙曲線的方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
∵過點（2，-2）且以$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$為漸近線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1}\\{\frac{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴雙曲線的方程為：$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
故選：A．

點評 本題考查了雙曲線的標(biāo)準方程及其性質(zhì)、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．