Question

11．如圖，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=AA₁=1，延長AC至D，使AC=CD，連接BD，B₁D，C₁D
（1）求證：AC₁⊥B₁D；
（2）求六面體BB₁-A₁ADC₁的體積；
（3）求平面B₁C₁D與平面ABC所成銳二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）建立坐標(biāo)系，利用向量法即可證明AC₁⊥B₁D；
（2）根據(jù)三棱柱和四棱錐的體積關(guān)系即可求六面體BB₁-A₁ADC₁的體積；
（3）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面B₁C₁D與平面ABC所成銳二面角的正切值．

解答 （1）證明：∵在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，
∴以C為坐標(biāo)原點建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
∵AC=BC=AA₁=1，延長AC至D，使AC=CD，
∴C（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C₁（0，0，1），A（0，-1，0），B₁（1，0，1），
則$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-1，1，-1），
則$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（0，1，1）•（-1，1，-1），=1-1=0，
則$\overrightarrow{A{C}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}D}$，即AC₁⊥B₁D；
（2）∵AC=BC=AA₁=CD=1，
∴直三棱柱的體積V₁=$\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{2}$，四棱錐的體積V₂=$\frac{1}{3}×1×1×1$=$\frac{1}{3}$，
則六面體BB₁-A₁ADC₁的體積V=V₁+V₂=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$．
（3）平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為面B₁C₁D的一個法向量，
則$\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{CB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-1，1，-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{-x+y-z=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=z}\end{array}\right.$
令z=1，則y=1，
則$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=45°，
即tan＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=tan45°=1，
即平面B₁C₁D與平面ABC所成銳二面角的正切值為1．

點評 本題主要考查空間直線垂直和二面角的求解，空間幾何體的體積的計算，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．