Question

17．有四個命題
①p：f（x）=lnx-2+λ在區(qū)間（1，2）上有一個零點，q：e^0.2＞e^0.3，p∧q為真命題
②當(dāng)x＞1時，f（x）=x²，g（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$，h（x）=x^-2的大小關(guān)系是h（x）＜g（x）＜f（x）
③若f′（x₀）=0，則f（x）在x=x₀處取得極值
④若不等式2-3x-2x²＞0的解集為P，函數(shù)y=$\sqrt{x+2}$+$\sqrt{1-2x}$的定義域為Q，則“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件，其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)復(fù)合命題真假之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．
②根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
③根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．
④根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．

解答 解：①f（x）=lnx-2+λ在區(qū)間（1，2）上為增函數(shù)，
則f（1）=λ-2，f（2）=ln2-2+λ，當(dāng)f（1）=λ-2＞0時，函數(shù)f（x）沒有零點，故p是假命題，
q：e^0.2＞e^0.3，為假命題，則p∧q為假命題，故①錯誤，
②當(dāng)x＞1時，函數(shù)y=x^α為增函數(shù)，則x²＞x${\;}^{\frac{1}{3}}$＞x^-2，即h（x）＜g（x）＜f（x）成立，故②正確，
③若f′（x₀）=0，則f（x）在x=x₀處取得極值錯誤，比如f（x）=x³，滿足f′（0）=0，但函數(shù)f（x））=x³，為增函數(shù)，沒有極值，故③錯誤，
④2-3x-2x²＞0得2x²+3x-2＜0得-2＜x＜$\frac{1}{2}$，即P=（-2，$\frac{1}{2}$），由$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥0}\\{1-2x≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥-2}\\{x≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得-2≤x≤$\frac{1}{2}$，即函數(shù)y=$\sqrt{x+2}$+$\sqrt{1-2x}$的定義域為Q=[-2，$\frac{1}{2}$]，則“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件，成立，故④正確，
故②④為真命題．
故選：B

點評 本題主要考查命題真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的定義域不等式的解集以及函數(shù)的極值的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．