Question

12．已知直線y=1與曲線y=x²-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn)．
（1）求證：f（x）=x²-|x|+a為偶函數(shù)．
（2）求當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）的解析式，并作出符合已知條件的函數(shù)f（x）圖象．
（3）求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義即可證明，
（2）根據(jù)x≥0，得到函數(shù)f（x）的解析式，
（3）在同一坐標(biāo)系中，作出y=1，y=x²-|x|+a，由圖可知a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-|x|+a的定義域?yàn)镽，
∴f（-x）=（-x）²-|-x|+a=x²-|x|+a=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-x+a，圖象如圖所示：
（3）如圖，在同一坐標(biāo)系中，作出y=1，y=x²-|x|+a，由圖可知a必須滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{4a-1}{4}＜1}\end{array}\right.$，解得1＜a＜$\frac{5}{4}$，
故a的取值范圍為（1，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象的作法和函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，屬于中檔題．