Question

15．已知f（x）=ax²+bx+c（a＞0），y=f（x）-x的零點(diǎn)為x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{a}$．
（1）當(dāng)x∈（0，x₁），求證：x＜f（x）＜x₁．
（2）若x=x₀為y=f（x）的對稱軸，求證：x₀＜$\frac{{x}_{1}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）可以構(gòu)造一個函數(shù)，然后利用做差的方法進(jìn)行，然后判斷差的符號即可；
（2）將對稱軸用x₁，x₂表示出來，然后與$\frac{{x}_{1}}{2}$比較即可，注意性質(zhì)的運(yùn)用．

解答 證明：（1）令F（x）=f（x）-x，
因?yàn)閤₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，
所以F（x）=a（x-x₁）（x-x₂），且a＞0，
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，由x₁＜x＜x₂得（x-x₁）（x-x₂）＜0，又a＞0，
所以F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＜0，即f（x）＜x．
而x₁-f（x）=x₁-[x+F（x）]=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]．
因?yàn)?＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{a}$，
所以x₁-x＜0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0，
得x-f（x）＜0，
由此得x₁＜f（x）＜x．
（2）由（1）知f（x）=F（x）+x=x+a（x-x₁）（x-x₂）
=ax²+[1-a（x₁+x₂）]x+ax₁x₂
由x₀=-$\frac{2a}$=$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{2a}$=$\frac{a{x}_{2}-1}{2a}$+$\frac{{x}_{1}}{2}$，
因?yàn)閍x₂＜1，所以$\frac{a{x}_{2}-1}{2a}$+$\frac{{x}_{1}}{2}$＜$\frac{{x}_{1}}{2}$，
即x₀＜$\frac{{x}_{1}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)與二次不等式、方程的根之間的關(guān)系，要注意將函數(shù)的性質(zhì)與方程的根結(jié)合函數(shù)的圖象有機(jī)結(jié)合起來．