Question

17．已知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}為等比數(shù)列，且a₂=16，a₃=40，則數(shù)列{$\frac{{4}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前60項(xiàng)和為$\frac{10}{63}$．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的公比為q，由于a₂=16，a₃=40，可得$\frac{40}{3+2}$=$\frac{16}{2+2}×q$，解得q．可得a_n，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的公比為q，
∵a₂=16，a₃=40，
∴$\frac{40}{3+2}$=$\frac{16}{2+2}×q$，解得q=2．
∴$\frac{{a}_{n}}{n+2}$=$\frac{{a}_{2}}{4}$×q^n-2=4×2^n-2=2ⁿ，
∴a_n=（n+2）•2ⁿ，
∴$\frac{{4}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{4}^{n}}{（n+2）•{2}^{n}（n+3）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$．
數(shù)列{$\frac{{4}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前60項(xiàng)和=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}）$
=$\frac{n}{6（n+3）}$．
故答案為：$\frac{10}{63}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．