Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），過點F₂且斜率為$\frac{2b}{a}$的直線l交直線2bx+ay=0于M，若M在以線段F₁F₂為直徑的圓上，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由已知得出過點F₂且斜率為$\frac{2b}{a}$的直線l的方程，與2bx+ay=0聯(lián)立即可解得交點M的坐標，代入以線段F₁F₂為直徑的圓的方程，即可得出離心率e．

解答 解：設過點F₂且斜率為$\frac{2b}{a}$的直線l的方程為y=$\frac{2b}{a}$（x-c），
與2bx+ay=0聯(lián)立，可得交點M（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{a}$）
∵點M在以線段F₁F₂為直徑的圓上，
∴（$\frac{c}{2}$）²+（-$\frac{bc}{a}$）²=c²，
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴c=$\frac{1}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學生的計算能力，熟練掌握橢圓的離心率、直線的點斜式、圓的方程是解題的關(guān)鍵．