Question

將邊長為1的正三角形薄鐵片，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=

(梯形的周長)2

梯形的面積

，則S的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x，用x表示出梯形的周長和面積，從而得到S的解析式，對(duì)函數(shù)S進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而確定最小值．

解答： 解：設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x，則梯形的周長為3-x，
梯形的面積為

3

4

(1-x2)，
∴S=

(3-x)2

3 4 (1-x2)

（0＜x＜1），
∴S′=

4

3

•

-2(3x-1)(x-3)

(1-x2)2

，
令S′=0，∵0＜x＜1，∴x=

1

3

，
當(dāng)0＜x＜

1

3

時(shí)，S′＜0，當(dāng)

1

3

＜x＜1時(shí)，S′＞0，
∴x=

1

3

時(shí)，S取極小值，也為最小值，且為

32 3

3

．
故答案為：

32 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)中的建模應(yīng)用，以及函數(shù)的最值求法，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．