Question

1．已知$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的$\sqrt{3}$倍，原點到直線A（a，0），B（0，-b）的距離是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）求實數(shù)m，使直線y=x+m交橢圓于不同的點C，D，并且以CD為直徑的圓經(jīng)過B點．

Answer 1

分析 （1）原點到直線A（a，0），B（0，-b）的距離是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的$\sqrt{3}$倍，可得a=$\sqrt{3}b$，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）假設(shè)CD為直徑的圓經(jīng)過B點．設(shè)點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），將直線l的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及向量垂直的充要條件，可求出滿足條件的m值．

解答 解：（1）直線A（a，0），B（0，-b）的方程為bx-ay-ab=0，
∵原點到直線A（a，0），B（0，-b）的距離是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的$\sqrt{3}$倍，
∴a=$\sqrt{3}b$，
∴b=1，a=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
將直線l的方程y=x+m代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，
并整理，得4x²+6mx+3m²-3=0．（*）
則x₁+x₂=-$\frac{3m}{2}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{4}$．
因為以CD為直徑的圓經(jīng)過B點，
所以$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0，
所以2x₁x₂+（m+1）（x₁+x₂）+1+m²=0，
于是2×$\frac{3{m}^{2}-3}{4}$+（m+1）（-$\frac{3m}{2}$）+1+m²=0，
解得m=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$，
經(jīng)檢驗知：此時（*）式的△＞0，符合題意．
所以當(dāng)m=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$時，以CD為直徑的圓經(jīng)過B點．

點評 本題考查的知識點是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系，向量垂直的充要條件，難度中檔．