Question

12．在棱長為1的正方體AC₁中，E，F(xiàn)，M，N分別為棱AB，CD，DD₁，CC₁的中點，點P在四邊形AEFD內及其邊界上運動，點Q在四邊形MNC₁D₁內及其邊界上運動，則線段PQ的中點G的軌跡所形成的幾何體的體積為（　�。�

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{1}{32}$
• D． $\frac{3}{32}$

Answer 1

分析 建立空間坐標系，設P，Q的坐標，求出G的坐標的范圍，得出G的軌跡，求出體積．

解答 解：以D為原點建立空間坐標系如圖，
設P（x，y，0），Q（a，0，c）．則G（$\frac{x+a}{2}$，$\frac{y}{2}$，$\frac{c}{2}$）．
∵點P在四邊形AEFD內及其邊界上運動，點Q在四邊形MNC₁D₁內及其邊界上運動，
∴0$≤x≤\frac{1}{2}$，0≤y≤1，0≤a≤1，$\frac{1}{2}≤c≤1$．
∴0≤$\frac{x+a}{2}$≤$\frac{3}{4}$，0≤$\frac{y}{2}$≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$≤$\frac{c}{2}$≤$\frac{1}{2}$．
∴G點軌跡形成的幾何體是邊長分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$的長方體．
∴V=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{32}$．
故選：D．

點評 本題考查了空間幾何體的判斷，體積計算，結合坐標范圍判斷幾何體的形狀是關鍵．