Question

20．設(shè)k，b均為非零常數(shù)，給出如下三個(gè)條件：
①{a_n}與{ka_n+b}均為等比數(shù)列；
②{a_n}為等差數(shù)列，{ka_n+b}為等比數(shù)列；
③{a_n}為等比數(shù)列，{ka_n+b}為等差數(shù)列；
其中一定能推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}為常數(shù)列的是①②③．（填上所有滿足要求的條件的序號(hào)）

Answer 1

分析 分別設(shè)出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公差（公比），再由{ka_n+b}是等比數(shù)列（等差數(shù)列）求出數(shù)列{a_n}的公差（公比）得答案．

解答 解：對(duì)于①，{a_n}與{ka_n+b}均為等比數(shù)列，
設(shè){a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，由$\frac{k{a}_{n+1}+b}{k{a}_{n}+b}=m$（m為非0常數(shù)），
得kqa_n+b=kma_n+mb，
∴$\left\{\begin{array}{l}{kq=km}\\{b=mb}\end{array}\right.$，得q=1．
∴數(shù)列{a_n}為常數(shù)列；
對(duì)于②，{a_n}為等差數(shù)列，{ka_n+b}為等比數(shù)列，
設(shè){a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由$\frac{k{a}_{n+1}+b}{k{a}_{n}+b}=m$，
得k（a_n+d）+b=kma_n+bm，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1=0}\\{kd+b=bm}\end{array}\right.$，得d=0．
數(shù)列{a_n}一定為常數(shù)列；
對(duì)于③，{a_n}為等比數(shù)列，{ka_n+b}為等差數(shù)列，
設(shè){a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，由ka_n+1+b-ka_n-b=m，
得kqa_n-ka_n=m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{q-1=0}\\{m=0}\end{array}\right.$，q=1．
∴數(shù)列{a_n}為常數(shù)列．
一定能推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}為常數(shù)列的是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了恒成立問(wèn)題的求解方法，屬中檔題．