3.點(diǎn)A是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn),B、C是該橢圓的另外兩點(diǎn),且△ABC是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,若滿足條件的△ABC只有一個(gè),則橢圓的離心率e的范圍是( 。
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e<1B.0<e≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.0<e≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$≤e<1

分析 由題意不妨設(shè):直線AB的方程為:y=kx+1;直線AC的方程為:y=-$\frac{1}{k}$x+1.分別與橢圓方程聯(lián)立可得|AB|,|AC|.由于|AC|=|BC|,化為
(|k|-1)[k2-(a2-1)|k|+1]=0,分別討論即可得出.

解答 解:由題意不妨設(shè):直線AB的方程為:y=kx+1;直線AC的方程為:y=-$\frac{1}{k}$x+1.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,化為:(a2k2+1)x2+2a2kx=0,解得x=0或x=$\frac{-2{a}^{2}k}{{a}^{2}{k}^{2}+1}$.
|AB|=$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{{a}^{2}{k}^{2}+1}$,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,可得|AC|=$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$.
∵|AC|=|AC|,
∴$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{{a}^{2}{k}^{2}+1}$=$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$.
化為(|k|-1)[k2-(a2-1)|k|+1]=0,
當(dāng)|k|-1=0,即k=±1時(shí),此時(shí)滿足條件的△ABC只有一個(gè);
當(dāng)k2-(a2-1)|k|+1=0時(shí),
△=(a2+1)(a2-3),
當(dāng)$1<a<\sqrt{3}$時(shí),△<0,此時(shí)滿足條件的△ABC只有一個(gè);
$a=\sqrt{3}$時(shí),△=0,|k|=1,此時(shí)滿足條件的△ABC只有一個(gè);
$a>\sqrt{3}$時(shí),滿足條件的△ABC有3個(gè).
綜上可得:1<a$≤\sqrt{3}$時(shí),滿足條件的△ABC只有一個(gè).
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$∈$(0,\frac{\sqrt{6}}{3}]$.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì),考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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