Question

18．如圖，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE為矩形，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，且AD=DC=CB=AE=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）在線段BC上是若存在的G，使得FG∥平面AMB？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)G所在位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）求三棱錐E-MBA的體積．

Answer 1

分析 （1）在等腰梯形ABCD中，求出AB，AC，得出BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD得FC⊥平面ABCD，從而FC⊥BC，于是BC⊥平面ACFE．
（2）取AB中點(diǎn)P，BC的中點(diǎn)G，連結(jié)MP，PG，F(xiàn)G，則PG與AC平行且等于AC的一半，由M為EF中點(diǎn)知FM與AC平行且等于AC的一半，故四邊形MFGP是平行四邊形，于是FG∥MP，從而FG∥平面AMB；
（3）以△AEM為棱錐的底面，則BC為棱錐的高，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 證明：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，且AD=DC=CB=1，
∴AB=2，AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}-2BC•ABcos60°}$=$\sqrt{3}$．∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
∵四邊形ACFE為矩形，∴FC⊥AC，
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，F(xiàn)C?平面ACFE，
∴FC⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，
∴FC⊥BC．
又∵AC?ACFE，F(xiàn)C?平面ACFE，AC∩FC=C，
∴BC⊥平面ACFE．
（2）當(dāng)G時(shí)BC中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)G∥平面AMB，
證明：取AB中點(diǎn)P，BC的中點(diǎn)G，連結(jié)MP，PG，F(xiàn)G，則PG∥AC，PG=$\frac{1}{2}$AC，
∵四邊形ACFE是矩形，M是EF的中點(diǎn)，
∴MF∥AC，MF=$\frac{1}{2}$AC，
∴MF∥PG，MF=PG，
∴四邊形MFGP是平行四邊形，∴FG∥MP，又∵M(jìn)P?平面ABM，F(xiàn)G?平面ABM，
∴FG∥平面ABM．
（3）EM=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由（1）可知BC⊥平面ACFE，
∴三棱錐E-MBA的體積V=$\frac{1}{3}$S_△AEM•BC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×AE×EM×BC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，選擇恰當(dāng)?shù)牡酌婧透呤怯?jì)算關(guān)鍵．