Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，頂點(diǎn)P在底頂上的射影是底面的中心，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設(shè)AB=2$\sqrt{2}$，二面角D-AE-C為直二面角，求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，由三角形中位線定理得OE∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出三棱錐E-ACD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，
∵底面ABCD是正方形，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)，
∴OE∥PB，
∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ）解：∵AB=2$\sqrt{2}$，底面ABCD是正方形，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)，
二面角D-AE-C為直二面角，頂點(diǎn)P在底頂上的射影是底面的中心，
∴以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)P（0，0，t），則A（-2，0，0），C（2，0，0），D（0，2，0），E（0，1，$\frac{t}{2}$），
$\overrightarrow{AC}$=（4，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（2，1，$\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（2，2，0），
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=4x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2x+y+\frac{t}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，-t，2），
設(shè)平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=2a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2a+b+\frac{t}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-$\frac{2}{t}$），
∵二面角D-AE-C為直二面角，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=t-$\frac{4}{t}$=0，解得t=2或t=-2（舍），
∴OP=2，作EF⊥平面ACD，垂足為F，則EF=$\frac{1}{2}OP=1$，
${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4，
∴三棱錐E-ACD的體積V=$\frac{1}{3}×EF×{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×1×4$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．