Question

8．已知橢圓C：4x²+y²=1，直線l：y=kx+m，若直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B．
（1）若k=1，橢圓存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線l對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若m=$\frac{1}{2}$，橢圓存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），設(shè)直線MN的方程為y=-x+b，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及根的判別式大于零、MN的中點(diǎn)T（x₀，y₀）在直線y=x+m上計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），設(shè)直線PQ的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+t，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及根的判別式大于零、PQ的中點(diǎn)T（x₀，y₀）在直線y=kx+$\frac{1}{2}$上計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$+y²=1上存在關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱的兩點(diǎn)為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
根據(jù)對(duì)稱性可知線段MN被直線y=x+m垂直平分，且MN的中點(diǎn)T（x₀，y₀）在直線y=x+m上，且k_MN=-1，
故可設(shè)直線MN的方程為y=-x+b，
聯(lián)立直線MN與橢圓方程，整理可得：5x²-2bx+b²-1=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2b}{5}$，y₁+y₂=2b-（x₁+x₂）=2b-$\frac{2b}{5}$，
由△=4b²-20（b²-1）＞0，可得-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜b＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{5}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{4b}{5}$，
∵M(jìn)N的中點(diǎn)T（x₀，y₀）在直線y=x+m上，
∴$\frac{4b}{5}$=$\frac{5}$+m，m=$\frac{3b}{5}$，
∴-$\frac{3\sqrt{5}}{10}$＜m＜$\frac{3\sqrt{5}}{10}$；
（2）設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$+y²=1上存在關(guān)于直線y=kx+$\frac{1}{2}$對(duì)稱的兩點(diǎn)為P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
根據(jù)對(duì)稱性可知線段PQ被直線y=kx+$\frac{1}{2}$垂直平分，且PQ的中點(diǎn)T（x₀，y₀）在直線y=kx+$\frac{1}{2}$上，且k_PQ=-$\frac{1}{k}$，
故可設(shè)直線PQ的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+t，
聯(lián)立直線PQ與橢圓方程，整理可得：（4+$\frac{1}{{k}^{2}}$）x²-$\frac{2t}{k}$x+t²-1=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2kt}{1+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=2t-$\frac{1}{k}$（x₁+x₂）=$\frac{8{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}$，
由△=$\frac{4{t}^{2}}{{k}^{2}}$-4（t²-1）（4+$\frac{1}{{k}^{2}}$）＞0，可得t²＜$\frac{1+4{k}^{2}}{4{k}^{2}}$，①
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{kt}{1+4{k}^{2}}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{4{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}$，
∵PQ的中點(diǎn)T（x₀，y₀）在直線y=kx+$\frac{1}{2}$上，
∴$\frac{4{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}$=k•$\frac{kt}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{1+4{k}^{2}}{6{k}^{2}}$，②
聯(lián)立①、②，化簡(jiǎn)得：5k²＞1，
解得：k＜-$\frac{\sqrt{5}}{5}$或k＞$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用已知中的對(duì)稱性設(shè)出直線方程，且由中點(diǎn)在直線上建立m、b，k、t之間的關(guān)系，還要注意方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．