Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，證明函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)；

（2）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，求的值；

（3）設(shè)，是函數(shù)圖象上任意不同的兩點，記線段的中點的橫坐標(biāo)是，證明直線的斜率 ．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)首先求解導(dǎo)函數(shù)，由可得函數(shù)在是單增函數(shù)；

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題意得到關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程可得．

(3)首先求得斜率的表達(dá)式，然后結(jié)合表達(dá)式設(shè) ，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的特征即可證得結(jié)論.

試題解析：

（1）解：．

因為，，所以．∴函數(shù)在是單增函數(shù)；

（2）解：在上，分如下情況討論：

1．當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，其最小值為，這與函數(shù)在上的最小值是相矛盾；

2．當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，其最小值為，同樣與最小值是相矛盾；

3．當(dāng)時，函數(shù)在上有，單調(diào)遞減，在上有，單調(diào)遞增，

∴函數(shù)的最小值為，得．

（3）證明：當(dāng)時，,．

又,不妨設(shè)，

要比較與的大小，即比較與的大小，又因為，

所以即比較與的大小．

令，則∴在上是增函數(shù)．

又，∴，，即．