【題目】已知橢圓：與軸的正半軸相交于點，點為橢圓的焦點，且是邊長為2的等邊三角形，若直線與橢圓交于不同的兩點．

（1）直線的斜率之積是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

（2）求的面積的最大值．

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析：第1)由基本量求出橢圓方程后,利用“設(shè)而不求”的思想,將用,表示,也就是用表示,最終化出定值;

(2)將面積用表示,化為關(guān)于的函數(shù),用基本不等式求最值.

試題解析：（1）因為是邊長為2的等邊三角形，

所以，，，所以，

所以橢圓：，點.

將直線代入橢圓的方程，

整理得：，（*）

設(shè)，則由（*）式可得

，

所以，，，

所以直線的斜率之積

所以直線的斜率之積是定值.

（2）記直線與軸的交點為，

則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.

所以的面積的最大值為.

點晴：本題主要考查橢圓基本量的計算,直線與橢圓相交中的定值、最值問題,考查轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第(1)問由基本量求出橢圓方程后,利用“設(shè)而不求”的思想,將用,表示,也就是用表示,最終化出定值;第(2)問將面積用表示,化為關(guān)于的函數(shù),用基本不等式求最值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)， .

（1）若，證明： 時， 成立；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值；

（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：<0.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于的方程，給出下列四個判斷：

①存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；

②存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；

③存在實數(shù)，使得方程恰有6個不同的實根；

④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根；

其中正確的為________（寫出所有判斷正確的序號）.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，證明函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)；

（2）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，求的值；

（3）設(shè)，是函數(shù)圖象上任意不同的兩點，記線段的中點的橫坐標是，證明直線的斜率 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線與函數(shù)的圖像相切于點．

（1）求實數(shù)的值；

（2）證明除切點外，直線總在函數(shù)的圖像的上方；

（3）設(shè)是兩兩不相等的正實數(shù)，且成等比數(shù)列，試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分別是AC，A1C1的中點．

求證：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；

(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某投資人欲將5百萬元獎金投入甲、乙兩種理財產(chǎn)品，根據(jù)銀行預(yù)測，甲、乙兩種理財產(chǎn)品的收益與投入獎金的關(guān)系式分別為，其中為常數(shù)且.設(shè)對乙種產(chǎn)品投入獎金百萬元，其中．

（1）當(dāng)時，如何進行投資才能使得總收益最大；（總收益）

（2）銀行為了吸儲，考慮到投資人的收益，無論投資人獎金如何分配，要使得總收益不低于，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x－＋a(2－ln x)(a>0)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案