Question

8．已知曲線r的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）；以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=9．
（I）求曲線Γ的普通方程以及直線l的直角坐標方程：
（Ⅱ）設l′：x-y-1=0與x軸的交點為A，P為曲線Γ上的點，記P到直線l的距離為d，若|AP|=d，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （I）由曲線Γ的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1即可得出曲線Γ的普通方程．直線l的極坐標方程為2ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=9，展開為：$2ρ（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$=9，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐標方程．
（II）設l′：x-y-1=0與x軸的交點為A（1，0），設P（x，y），由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=\frac{|x-\sqrt{3}y+9|}{2}}\end{array}\right.$，又$\fracpnffl51{4-x}$=$\frac{1}{2}$，可得d=$2-\frac{1}{2}x$=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{|x-\sqrt{3}y+9|}{2}$，化簡解出即可．

解答 解：（I）由曲線Γ的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得曲線Γ的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
直線l的極坐標方程為2ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=9，展開為：$2ρ（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$=9，可得直角坐標方程：$\sqrt{3}$y-x-9=0．
（II）設l′：x-y-1=0與x軸的交點為A（1，0），
設P（x，y），
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=\frac{|x-\sqrt{3}y+9|}{2}}\end{array}\right.$，又$\fractdd3xzb{4-x}$=$\frac{1}{2}$，可得d=$2-\frac{1}{2}x$=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{|x-\sqrt{3}y+9|}{2}$，化為4-x=x-$\sqrt{3}$y+9，即2x=$\sqrt{3}$y-5．
代入3x²+4y²=12，解得P$（-\frac{8}{5}，\frac{3\sqrt{3}}{5}）$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．