Question

3．某工廠準(zhǔn)備裁減人員，已知該工廠現(xiàn)有工人2m（80＜m＜300）人，據(jù)評(píng)估，在生產(chǎn)條件不變的情況下，每裁減1人，留崗人員每人每年多創(chuàng)利$\frac{n}{50}$萬元，但工廠需支付被裁減人員每人每年$\frac{4n}{5}$萬元生活費(fèi)，且工廠正常生產(chǎn)人數(shù)不少于現(xiàn)有人數(shù)的$\frac{3}{4}$（注：效益=工人創(chuàng)利-被裁減人員生活費(fèi)）．
（1）求該廠的經(jīng)濟(jì)效益y（萬元）與裁員人數(shù)x的函數(shù)關(guān)系；
（2）為獲得最大經(jīng)濟(jì)效益，該廠應(yīng)裁員多少人？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中每裁減1人，留崗人員每人每年多創(chuàng)利$\frac{n}{50}$萬元，但工廠需支付被裁減人員每人每年$\frac{4n}{5}$萬元生活費(fèi)可得：經(jīng)濟(jì)效益y（萬元）與裁員人數(shù)x的函數(shù)關(guān)系；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得為獲得最大經(jīng)濟(jì)效益，該廠應(yīng)裁員人數(shù)．

解答 解：（1）由已知中每裁減1人，留崗人員每人每年多創(chuàng)利$\frac{n}{50}$萬元，但工廠需支付被裁減人員每人每年$\frac{4n}{5}$萬元生活費(fèi)可得：
該廠的經(jīng)濟(jì)效益y（萬元）與裁員人數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為：y=（2m-x）x×$\frac{n}{50}$-x×$\frac{4n}{5}$=$-\frac{n}{50}{x}^{2}$+$\frac{mn-20n}{25}$x，
又由工廠正常生產(chǎn)人數(shù)不少于現(xiàn)有人數(shù)的$\frac{3}{4}$，
可得：0＜x≤$\frac{m}{2}$，
故y=$-\frac{n}{50}{x}^{2}$+$\frac{mn-20n}{25}$x，0＜x≤$\frac{m}{2}$，
（2）由函數(shù)y=$-\frac{n}{50}{x}^{2}$+$\frac{mn-20n}{25}$x的圖象是開口朝上，且以直線x=m-20為對(duì)稱軸的拋物線，
∵80＜m＜300，
∴m-20＞$\frac{m}{2}$，
當(dāng)0＜x≤$\frac{m}{2}$時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x=$\frac{m}{2}$時(shí)，函數(shù)取最大值，
故為獲得最大經(jīng)濟(jì)效益，該廠應(yīng)裁員$\frac{m}{2}$人．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．