Question

20．已知函數(shù)f（x）=xlnx-a（x-1），a∈R．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求證：f（x）在（0，a）上為減函數(shù)；
（3）若當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導(dǎo)，求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）討論f（x）的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，求得φ（a）=lna+1-a的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得f（x）的導(dǎo)數(shù)的符號，即可得證；
（3）方法一、求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)a≤1時(shí)，②當(dāng)a＞1時(shí)，判斷單調(diào)性，即可得到所求范圍；
方法二、令$g（x）=lnx-a（1-\frac{1}{x}）$，求出導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)a≤1時(shí)，②當(dāng)a＞1時(shí)，判斷單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）對f（x）求導(dǎo)，得f′（x）=lnx+1-a，
則f'（1）=1-a．又f（1）=0，
即有曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（1-a）（x-1）；
（2）因?yàn)閒′（x）=lnx+1-a為增函數(shù)，
所以當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜f'（a）=lna+1-a．
令φ（a）=lna+1-a，求導(dǎo)得$φ'（a）=\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}$．
當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，φ'（a）＞0，φ（a）為增函數(shù)；
當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，φ'（a）＜0，φ（a）為減函數(shù)．
因此φ（a）≤φ（1）=0，即f′（a）≤0．
所以，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，a）上為減函數(shù)；
（3）解法1：f'（x）=lnx+1-a．
①當(dāng)a≤1時(shí)，因?yàn)閒'（x）=lnx+1-a為增函數(shù)，
所以當(dāng)x≥1時(shí)，lnx+1-a≥ln1+1-a=1-a≥0，因此f'（x）≥0．
當(dāng)且僅當(dāng)a=1且x=1時(shí)等號成立．所以f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
因此當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥f（1）=0．
②當(dāng)a＞1時(shí)，由f'（x）=lnx+1-a=0，得lnx=a-1．解得x=e^a-1．
當(dāng)x∈（1，e^a-1）時(shí)，f'（x）＜0，
因此f（x）在（1，e^a-1）上為減函數(shù)．
所以當(dāng)x∈（1，e^a-1）時(shí)，f（x）＜f（1）=0，不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．
解法2：f（x）=xlnx-a（x-1）≥0?$lnx-a（1-\frac{1}{x}）≥0$．
令$g（x）=lnx-a（1-\frac{1}{x}）$，則$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$．
①當(dāng)a≤1時(shí)，因?yàn)閤≥1，所以g'（x）≥0．當(dāng)且僅當(dāng)a=1且x=1時(shí)等號成立．
所以g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．
因此，當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≥g（1）=0．此時(shí)f（x）≥0．
②當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)x∈（1，a）時(shí)，g'（x）＜0，因此g（x）在（1，a）上為減函數(shù)．
所以，當(dāng)x∈（1，a）時(shí)，g（x）＜g（1）=0，此時(shí)f（x）＜0，不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性，考查不等式的恒成立問題的解法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．