Question

19．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過定點M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx-$\frac{1}{3}$（k∈R）與橢圓C交于A、B兩點，試問在y軸上是否存在定點P，使得以弦AB為直徑的圓恒過P點？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過將點P代入橢圓方程并利用離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，計算即得結(jié)論；
（2）先假設(shè)存在一個定點P，使得以AB為直徑的圓恒過定點，再用垂直時，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，得到關(guān)于直線斜率k的方程，求k，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．

解答 解：（1）由離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過定點M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{^{2}}$=1，解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
所以橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）當直線l與x軸平行時，以AB為直徑的圓方程為${x}^{2}+（y+\frac{1}{3}）^{2}=（\frac{4}{3}）^{2}$
當直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓方程為x²+y²=1
所以兩圓的切點為點（0，1）
所求的點P為點（0，1），證明如下．
直線l：y=kx-$\frac{1}{3}$（k∈R）與橢圓方程聯(lián)立得（18k²+9）x²-12kx-16=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=$\frac{12k}{18{k}^{2}+9}$，x₁x₂=-$\frac{16}{18{k}^{2}+9}$，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（1+k²）x₁x₂-$\frac{4}{3}$k（x₁+x₂）+$\frac{16}{9}$
=（1+k²）•（-$\frac{16}{18{k}^{2}+9}$）-$\frac{4}{3}$k•$\frac{12k}{18{k}^{2}+9}$+$\frac{16}{9}$=0，
所以$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，即以AB為直徑的圓過點（0，1）
所以存在一個定點P，使得以AB為直徑的圓恒過定點P（0，1）．

點評 本題考查了橢圓，橢圓與直線的綜合運用，另外，還結(jié)合了向量知識，綜合性強，須認真分析．