Question

17．求下列函數(shù)的值域．
（1）y=$\frac{1}{{x}^{2}+2}$；
（2）y=$\frac{2x-3}{x+1}$；
（3）y=$\sqrt{-{x}^{2}+2x+1}$；
（4）y=2x-$\sqrt{x-1}$．

Answer 1

分析 分別根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)，換元法將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵x²+2≥2，∴y=$\frac{1}{{x}^{2}+2}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，則函數(shù)的值域為（0，$\frac{1}{2}$]；
（2）y=$\frac{2x-3}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-5}{x+1}$=2-$\frac{5}{x+1}$，則y≠2，即函數(shù)的值域為（-∞，2）∪（2，+∞）；
（3）y=$\sqrt{-{x}^{2}+2x+1}$=$\sqrt{-（x-1）^{2}+2}$∈[0，$\sqrt{2}$]；即函數(shù)的值域為∈[0，$\sqrt{2}$]；
（4）由x-1≥0得x≥1，則函數(shù)的定義域為[1，+∞），
設(shè)t=$\sqrt{x-1}$，則t≥0，則x-1=t²，x=t²+1，
則函數(shù)等價為y=2（t²+1）-t=2t²-t+2=2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{15}{8}$，
對稱軸為t=$\frac{1}{4}$，
∵t≥0，∴y≥$\frac{15}{8}$，
即函數(shù)的值域為[$\frac{15}{8}$，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用分式函數(shù)的性質(zhì)，換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．