Question

14．已知f（x）=cos（$\frac{π}{2}$+x）．
（1）試寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{2}$，a]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，根據(jù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，a]上單調(diào)遞減，建立不等式關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=cos（$\frac{π}{2}$+x）=-sinx，
則單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，（k∈z），
單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，（k∈z）；
（2）由（1）知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，（k∈z）；
∴當(dāng)k=0時(shí)，遞減區(qū)間為[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
若f（x）在[-$\frac{π}{2}$，a]上單調(diào)遞減，
則-$\frac{π}{2}$＜a≤$\frac{π}{2}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，即需由正弦函數(shù)的單調(diào)性和整體思想，求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了整體思想．