Question

15．若關(guān)于x的方程（5x+$\frac{5}{x}$）-|4x-$\frac{4}{x}$|=m在（0，+∞）內(nèi)恰有四個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（6，10）．

Answer 1

分析 分類討論以去掉絕對(duì)值號(hào)，從而利用基本不等式確定各自方程的根的個(gè)數(shù)，從而解得．

解答 解：當(dāng)x≥1時(shí)，4x-$\frac{4}{x}$≥0，
∵方程$（5x+\frac{5}{x}）-|4x-\frac{4}{x}|=m$，
∴5x+$\frac{5}{x}$-4x+$\frac{4}{x}$=m，即x+$\frac{9}{x}$=m；
∵x+$\frac{9}{x}$≥6；
∴當(dāng)m＜6時(shí)，方程x+$\frac{9}{x}$=m無(wú)解；
當(dāng)m=6時(shí)，方程x+$\frac{9}{x}$=m有且只有一個(gè)解；
當(dāng)6＜m＜10時(shí)，方程x+$\frac{9}{x}$=m在（1，+∞）上有兩個(gè)解；
當(dāng)m=10時(shí)，方程x+$\frac{9}{x}$=m的解為1，9；
當(dāng)x＜1時(shí)，4x-$\frac{4}{x}$＜0，
∵方程$（5x+\frac{5}{x}）-|4x-\frac{4}{x}|=m$，
∴5x+$\frac{5}{x}$+4x-$\frac{4}{x}$=m，
即9x+$\frac{1}{x}$=m；
∵9x+$\frac{1}{x}$≥6；
∴當(dāng)m＜6時(shí)，方程9x+$\frac{1}{x}$=m無(wú)解；
當(dāng)m=6時(shí)，方程9x+$\frac{1}{x}$=m有且只有一個(gè)解；
當(dāng)6＜m＜10時(shí)，方程9x+$\frac{1}{x}$=m在（0，1）上有兩個(gè)解；
當(dāng)m=10時(shí)，方程9x+$\frac{1}{x}$=m的解為1，$\frac{1}{9}$；
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（6，10）．
故答案為：（6，10）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值方程的解法與應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．