Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+3}$，求通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析 通過a_n=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+3}$寫出數(shù)列前幾項(xiàng)的值并猜想通項(xiàng)，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：a_n=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+3}$=$\frac{{a}_{n-1}+3-4}{{a}_{n-1}+3}$=1-$\frac{4}{{a}_{n-1}+3}$，
∵a₁=1，
∴a₂=1-$\frac{4}{1+3}$=0，
a₃=1-$\frac{4}{0+3}$=-$\frac{1}{3}$，
a₄=1-$\frac{4}{-\frac{1}{3}+3}$=-$\frac{1}{2}$=-$\frac{2}{4}$，
a₅=1-$\frac{4}{-\frac{1}{2}+3}$=-$\frac{3}{5}$，
a₆=1-$\frac{4}{-\frac{3}{5}+3}$=-$\frac{2}{3}$=-$\frac{4}{6}$，
a₇=1-$\frac{4}{-\frac{2}{3}+3}$=-$\frac{5}{7}$，
猜想：a_n=-$\frac{n-2}{n}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，有a_k=-$\frac{k-2}{k}$，
則a_k+1=$\frac{{a}_{k}-1}{{a}_{k}+3}$=$\frac{-\frac{k-2}{k}-1}{-\frac{k-2}{k}+3}$=-$\frac{（k+1）-2}{k+1}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立；
由①、②可知：a_n=-$\frac{n-2}{n}$．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-$\frac{n-2}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．