Question

17．如圖，點(diǎn)A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是單位圓上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠AOB=120°，∠AOP=θ（0＜θ＜π），$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，求x+y的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$+sinθ≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1時(shí)，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到A，B，P的坐標(biāo)，將$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$表示為以θ為參數(shù)的方程，x+y用θ的三角函數(shù)表示求最值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$+sinθ用坐標(biāo)表示后化簡得到關(guān)于θ的三角函數(shù)值的范圍，進(jìn)而求θ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由任意角的三角函數(shù)的定義得到A（1，0），B（$-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（cosθ，sinθ），
因?yàn)?\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，所以$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=x-\frac{1}{2}y}\\{sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ+cosθ}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，所以x+y=$\sqrt{3}$sinθ+cosθ=2sin（$θ+\frac{π}{6}$），
因?yàn)?＜θ＜π，所以當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，x+y的最大值為2；
（Ⅱ）因?yàn)?\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$=（1+cosθ，sinθ），
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OQ}$+sinθ=1+cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）+1≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1，
整理得sin（$θ+\frac{π}{4}$）$≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以2kπ+$\frac{π}{3}$≤$θ+\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，所以2kπ+$\frac{π}{12}$≤θ≤2kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
由于0＜θ＜π，所以$\frac{π}{12}≤θ≤\frac{5π}{12}$，即$θ∈[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的坐標(biāo)法定義的運(yùn)用、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角函數(shù)的最值求法；關(guān)鍵是將問題坐標(biāo)化．