Question

13．已知a＞0，且a≠1，函數(shù)f（x）的定義域是[-1，1]，且滿足f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若實(shí)數(shù)m滿足f（m-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2m）＜0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）令t=log_ax，則x=a^t，$\frac{1}{x}$=a^-t，結(jié)合f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$）換元整理可得函數(shù)f（x）；
（Ⅱ）分析當(dāng)a∈（0，1）時(shí)和當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性的性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
（Ⅲ）先證明函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和定義，可將原不等式轉(zhuǎn)化為-1≤m-$\frac{1}{2}$＜2m-$\frac{1}{4}$≤1，解得答案．

解答 解：（I）令t=log_ax，則x=a^t，$\frac{1}{x}$=a^-t，
∵f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$），
∴f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^t-a^-t），
∴f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），x∈[-1，1]，
（Ⅱ）函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
①當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，y=a^x為減函數(shù)，y=a^-x為增函數(shù)，
∴y=a^x-a^-x為為減函數(shù)，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）為增函數(shù)．
②當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，y=a^x為增函數(shù)，y=a^-x為減函數(shù)，
∴y=a^x-a^-x為為增函數(shù)，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）為增函數(shù)．
綜上可得函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
（Ⅲ）f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x）=-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
若實(shí)數(shù)m滿足f（m-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2m）＜0，
則f（m-$\frac{1}{2}$）＜-f（$\frac{1}{4}$-2m）=f（2m-$\frac{1}{4}$），
則-1≤m-$\frac{1}{2}$＜2m-$\frac{1}{4}$≤1，
解得：m∈（-$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{8}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．