Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，-1），向量$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{π}{4}$，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1．
（1）求向量$\overrightarrow$
（2）若向量$\overrightarrow$與$\overrightarrow{n}$=（1，0）的夾角為$\frac{π}{2}$，向量$\overrightarrow{m}$=（cosC，2cos²$\frac{A}{2}$），其中A，B，C是△ABC的內(nèi)角，且滿足2B=A+C，試求|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{m}$|的取值范圍
（3）求在（2）條件下取得最小值時A，并求此時能使方程sin（2x+A）=$\frac{m}{2}$在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上存在兩個相異實根的m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)量積及夾角計算|$\overrightarrow$|，根據(jù)夾角確定$\overrightarrow$的方向；
（2）使用二倍角公式化簡$\overrightarrow+\overrightarrow{m}$，根據(jù)A的范圍計算（$\overrightarrow+\overrightarrow{m}$）²的范圍得出|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{m}$|的取值范圍；
（3）利用正弦函數(shù)圖象得出$\frac{m}{2}$的范圍解出．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{2}$，∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos$\frac{π}{4}$=1，∴$|\overrightarrow|$=1．
∴$\overrightarrow$=（-1，0）或$\overrightarrow$=（0，-1）．
（2）∵向量$\overrightarrow$與$\overrightarrow{n}$=（1，0）的夾角為$\frac{π}{2}$，∴$\overrightarrow$=（0，-1）．
∵2B=A+C，A+B+C=π，∴B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．∴cosC=cos（$\frac{2π}{3}-A$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA．
∴$\overrightarrow{m}$=（cosC，2cos²$\frac{A}{2}$）=（cosC，1+cosA）=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA，1+cosA）．
∴$\overrightarrow+\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA，cosA）．
∴（$\overrightarrow+\overrightarrow{m}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA）²+cos²A=$\frac{1}{4}cos2A$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A+1=$\frac{1}{2}$cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1．
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$．
∴-1≤cos（2A+$\frac{π}{3}$）$＜\frac{1}{2}$．∴$\frac{1}{2}$≤（$\overrightarrow+\overrightarrow{m}$）²＜$\frac{5}{4}$．
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤|$\overrightarrow+\overrightarrow{m}$|＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（3）由（2）知當(dāng)2A+$\frac{π}{3}$=π時，|$\overrightarrow+\overrightarrow{m}$|取得最小值，此時A=$\frac{π}{3}$．
令f（x）=sin（2x+A）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．
∵f（x）=$\frac{m}{2}$在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個相異實根，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}≤\frac{m}{2}＜1$．
∴$\sqrt{3}≤m＜2$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換，函數(shù)零點的個數(shù)判斷，屬于中檔題．