Question

13．在平行四邊形ABCD中，AC=5，BD=4，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由向量的幾何意義可知：∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，對兩式的兩邊分別平方相減即得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$，即$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$|=5，|$\overrightarrow{BD}$|=|$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$|=4，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$=25，${\overrightarrow{AD}}^{2}-2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AB}}^{2}$=16．
將兩式相減得4$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=9$．∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{9}{4}$．
∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了平面向量的幾何意義，向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．