Question

9．A、B是單位圓O上的動點，且A、B分別在第一、二象限．C是圓O與x軸正半軸的交點，△AOB為正三角形．記∠AOC=α．
（Ⅰ）若A點的坐標為$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$．求$\frac{{{{sin}^2}α+sin2a}}{{{{cos}^2}α+cos2α}}$的值；
（Ⅱ）求|BC|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用任意角的三角函數的定義，三角恒等變換，求得所給式子的值．
（Ⅱ）由題意可得∠AOB=$\frac{π}{3}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），由余弦定理以及余弦函數的定義域和值域，求得|BC|²的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）若A點的坐標為$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，則cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{{{{sin}^2}α+sin2a}}{{{{cos}^2}α+cos2α}}$=$\frac{{sin}^{2}α+2sinαcosα}{{3cos}^{2}α-1}$=$\frac{\frac{16}{25}+\frac{24}{25}}{3•\frac{9}{25}-1}$=20．
（Ⅱ）由題意可得∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得|BC|² =OB²+OC²-2OB•OC•cos（$\frac{π}{3}$+α）=1+1-2cos（$\frac{π}{3}$+α），
∵∠AOC=α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$\frac{π}{3}$+α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），cos（$\frac{π}{3}$+α）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴-2cos（$\frac{π}{3}$+α）∈（-1，$\sqrt{3}$），∴1+1-2cos（$\frac{π}{3}$+α）∈（1，2+$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查任意角的三角函數的定義，三角恒等變換，余弦定理，余弦函數的值域，屬于中檔題．