Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{1-{2}^{x+1}+{4}^{x}}$
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的最小值；
（3）作出f（x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）由被開方式非負(fù)，可得定義域?yàn)镽，化簡(jiǎn)f（x）═|2^x-1|，討論x≥0，x＜0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由f（x）的單調(diào)區(qū)間，可得f（0）取得最小值；
（3）將f（x）寫成分段函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)和分段函數(shù)的圖象畫法，可得f（x）的圖象．

解答 解：（1）要使f（x）有意義，可得1-2^x+1+4^x≥0，
即為（2^x-1）²≥0，
由2^x＞0，可得函數(shù)的定義域?yàn)镽，
則f（x）=$\sqrt{（{2}^{x}-1）^{2}}$=|2^x-1|，
當(dāng)x≥0，即2^x≥1，即有f（x）=2^x-1；f（x）遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，即2^x＜1，即有f（x）=1-2^x；f（x）遞減．
綜上可得，f（x）的增區(qū)間為[0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）；
（2）由（1）可得，f（x）的增區(qū)間為[0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0），
可得f（0）取得最小值|2⁰-1|=0
（3）由f（x）=$\sqrt{（{2}^{x}-1）^{2}}$=|2^x-1|
=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≥0}\\{1-{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
由分段函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象，可得f（x）的圖象，如右：

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，主要是函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查函數(shù)的圖象，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．