Question

5．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜π）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求出g（x）的對(duì)稱(chēng)中心并畫(huà)出g（x）在[0，4π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）由已知求出周期，進(jìn)一步求得ω，再由函數(shù)為偶函數(shù)求得φ，則函數(shù)解析式可求；
（2）通過(guò)函數(shù)的圖象平移求得函數(shù)g（x）的解析式，并求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，然后利用五點(diǎn)作圖作出函數(shù)的圖象．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為$\frac{π}{2}$，∴周期T=π．
則ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），
又函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）為偶函數(shù)，
則2sinφ=2，即sinφ=1，∴φ=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位后，所得函數(shù)解析式為y=2cos2（x-$\frac{π}{3}$）=2cos（2x-$\frac{2π}{3}$），
再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，解析式為g（x）=$2cos（\frac{1}{2}x-\frac{2π}{3}）$．
由$\frac{1}{2}x-\frac{2π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，得x=$\frac{7π}{3}+2kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)g（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{7π}{3}+2kπ$，0），k∈Z；
列表：

x	0	$\frac{4π}{3}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{10π}{3}$	4π	$\frac{13π}{3}$
$\frac{1}{2}x-\frac{2π}{3}$	$-\frac{2π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{4π}{3}$	$\frac{3π}{2}$
y	-1	2	0	-2	-1	0

用平滑曲線連接得到函數(shù)圖象如圖：

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象平移，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象及性質(zhì)，是中檔題．