Question

6．如圖，在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，且E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)．
（1）求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$；
（2）若$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EC}$，求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$；
（3）連結(jié)BE并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)AF，設(shè)$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{EA}$（0≤λ≤1）．當(dāng)λ為何值時(shí)，可使$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$最小，并求出$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BF}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）代入數(shù)量積公式計(jì)算；（2）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{AE}$，代入數(shù)量積公式計(jì)算；（3）建立平面直角坐標(biāo)系，用λ表示出$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{BF}$的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式計(jì)算，求出關(guān)于λ的函數(shù)最值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=AB•AD•cos∠BAD=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$．
（2）∵$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EC}$，∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$），∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=1．
（3）以AB所在直線為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AB}=（1，0）$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∵$\overrightarrow{CE}$=λ$\overrightarrow{EA}$，∴$\overrightarrow{CF}=λ$$\overrightarrow{BA}$=（-λ，0），$\overrightarrow{DF}=（1-λ）$$\overrightarrow{AB}$=（1-λ，0）．
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$=（$\frac{3}{2}-λ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{3}{2}-λ$）×（$\frac{1}{2}-λ$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=λ²-2λ$+\frac{3}{2}$=（λ-1）²+$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)λ=1時(shí)，$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$最小，$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BF}$的最小值是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．