Question

【題目】在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，已知a1=1，且滿足an+1=2an （n∈N*）
（Ⅰ）求a2 ， a3；
（Ⅱ）證明．a(chǎn)n≥ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1=1，且滿足an+1=2an （n∈N*），

∴ = ，

= ．

證明：（Ⅱ）①當(dāng)n=1時(shí)，由已知 ，成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即 ，

∵f（x）=2x﹣ 在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∴ ≥

=（ ）k+ （ ）k﹣

=（ ）k+

=（ ）k+ ，

∵k≥1，∴2×（ ）k﹣3 ﹣3=0，

∴ ，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．

根據(jù)①②知不等式對(duì)任何n∈N*都成立

【解析】（Ⅰ）利用遞推公式能依次求出a2，a3．（Ⅱ）利用數(shù)數(shù)歸納法證明：先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)， ，成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)， ，由f（x）=2x﹣ 在（0，+∞）上是增函數(shù)，推導(dǎo)出 ，由此能證明an≥ ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．