Question

18．已知點P是曲線y=$\frac{{3-{e^x}}}{{{e^x}+1}}$上一動點，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的最小值是（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，化簡整理可得y′=$\frac{-4}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$，再由基本不等式可得切線的斜率的最小值，再由直線的斜率公式和傾斜角的范圍，即可得到所求最小值．

解答 解：y=$\frac{{3-{e^x}}}{{{e^x}+1}}$的導數(shù)為y′=$\frac{-{e}^{x}（1+{e}^{x}）-（3-{e}^{x}）{e}^{x}}{（1+{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-4{e}^{x}}{（1+{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-4}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$，
由e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，當且僅當x=0時，取得等號．
即有$\frac{-4}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$≥$\frac{-4}{2+2}$=-1，
可得切線的斜率k=tanα∈[-1，0）．
則α∈[$\frac{3π}{4}$，π），即有α的最小值是$\frac{3π}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查基本不等式的運用：求最值，同時考查直線斜率公式和傾斜角的范圍，屬于中檔題．