Question

9．已知sinx+cosx-k=0在x∈[0，π]有兩個(gè)解，則k的取值范圍是$[1，\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 設(shè)y₁=sinx+cosx，y₂=k，方程sinx+cosx=k在[0，π]上有兩個(gè)解轉(zhuǎn)化為函數(shù)y₁=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈[0，π]的圖象與直線y₂=k有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求得k的取值范圍．

解答 解：設(shè)y₁=sinx+cosx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）
=$\sqrt{2}$（sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，π]，
∴$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，1≤$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$；
再令y₂=k，
則方程sinx+cosx=k在[0，π]上有兩個(gè)解等價(jià)于函數(shù)y₁=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈[0，π]的圖象與直線y₂=k有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴1≤k＜$\sqrt{2}$．
故答案為：[1，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查輔助角公式的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．