Question

17．已知直線l過(guò)點(diǎn)P（0，1）且與（x-1）²+y²=4相交于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)|AB|取最小值時(shí)l的方程以及|AB|的最小值．

Answer 1

分析 由題意得，點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故當(dāng)弦AB和點(diǎn)P（0，1）與圓心C（1，0）的連線垂直時(shí)，弦AB最短，由點(diǎn)斜式求得弦AB所在的直線的方程，再化為一般式，利用勾股定理求出|AB|的最小值．

解答 解：因?yàn)辄c(diǎn)P（0，1）到圓心（1，0）的距離等于$\sqrt{2}$，小于半徑，故此點(diǎn)在圓（x-1）²+y²=4的內(nèi)部，
故當(dāng)弦AB和點(diǎn)P（0，1）與圓心C（1，0）的連線垂直時(shí)，弦AB最短．
弦AB的斜率為1，由點(diǎn)斜式求得弦AB所在的直線的方程為y-1=x-0，
即x-y+1=0，
|CP|=$\sqrt{2}$，∴|AB|的最小值為2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷，以及用點(diǎn)斜式求直線的方程．