Question

11．設A為不等式log₂（5x²-8x+3）＞2的解集，B為不等式2${\;}^{{x}^{2}-2x-k}$≥$\frac{1}{2}$的解集．
（1）求集合A，B；
（2）如果A⊆B，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，可將原不等式轉化為整式不等式，解得A，B；
（2）根據(jù)（1）中結論，分類討論滿足A⊆B的實數(shù)k的取值范圍，綜合討論結果，可得答案．

解答 解：（1）若log₂（5x²-8x+3）＞2，則5x²-8x+3＞4，即5x²-8x-1＞0，
解得：A=（-∞，$\frac{4-\sqrt{21}}{5}$）∪（$\frac{4+\sqrt{21}}{5}$，+∞）；
若2${\;}^{{x}^{2}-2x-k}$≥$\frac{1}{2}$，則x²-2x-k≥-1，即x²-2x+1-k≥0，
當k≤0時，B=R；
當k＞0時，B=（-∞，1-$\sqrt{k}$]∪[1+$\sqrt{k}$，+∞）；
（2）當k≤0時，B=R，滿足A⊆B，
當k＞0時，B=（-∞，1-$\sqrt{k}$]∪[1+$\sqrt{k}$，+∞），由A⊆B得：$\left\{\begin{array}{l}1-\sqrt{k}≥\frac{4-\sqrt{21}}{5}\\ 1+\sqrt{k}≤\frac{4+\sqrt{21}}{5}\end{array}\right.$
解得：0＜k≤$\frac{22-2\sqrt{21}}{25}$，
故k≤$\frac{22-2\sqrt{21}}{25}$．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質是解答的關鍵．