Question

11．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，若以點F為圓心，半徑為a的圓與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的離心率等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線方程表示出F坐標(biāo)，以及漸近線方程，由以點F為圓心，半徑為a的圓與雙曲線C的漸近線相切，得到圓心F到漸近線距離d=r，整理得到a=b，再利用雙曲線的簡單性質(zhì)及離心率公式計算即可．

解答 解：根據(jù)題意得：圓心F（c，0），半徑為a，雙曲線漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，即±bx-ay=0，
∵以點F為圓心，半徑為a的圓與雙曲線C的漸近線相切，且c²=a²+b²，
∴圓心F到漸近線的距離d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=a，即a=b，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則雙曲線C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故選：B．

點評 此題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．