Question

16．已知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{9-2k}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示雙曲線，且離心率e∈（$\sqrt{3}$，2），若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出兩個命題的為真命題的等價條件，利用復合命題真假之間的關系進行判斷求解．

解答 解：方程$\frac{{x}^{2}}{9-2k}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦點在y軸上的橢圓，
則$\left\{\begin{array}{l}{9-2k＞0}\\{k＞0}\\{9-2k＜k}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＜\frac{9}{2}}\\{k＞0}\\{k＞3}\end{array}\right.$，即3＜k＜$\frac{9}{2}$，即p：3＜k＜$\frac{9}{2}$，
∵方程$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示雙曲線，且離心率e∈（$\sqrt{3}$，2），
∴a²=2，b²=k＞0，c²=2+k，
∵e∈（$\sqrt{3}$，2），
∴e²∈（3，4），
即3＜$\frac{2+k}{2}$＜4，
得4＜k＜6，
即q：4＜k＜6，
∵命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，
∴p，q只有一個為真，
∴若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{3＜k＜\frac{9}{2}}\\{k≥6或k≤4}\end{array}\right.$，得3＜k≤4，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{k≥\frac{9}{2}或k≤3}\\{4＜k＜6}\end{array}\right.$，得$\frac{9}{2}$≤k＜6，
綜上3＜k≤4或$\frac{9}{2}$≤k＜6．

點評 本題主要考查復合命題真假的應用，根據條件求出兩個命題的為真命題的等價條件是解決本題的關鍵．