Question

12．某品牌專賣店準(zhǔn)備在國慶期間舉行促銷活動，根據(jù)市場調(diào)查，該店決定從2種不同型號的洗衣機，2種不同型號的電視機和3種不同型號的空調(diào)中（不同種商品的型號不同），選出4種不同型號的商品進(jìn)行促銷，該店對選出的商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現(xiàn)價的基礎(chǔ)上將價格提高150元，同時，若顧客購買該商品，則允許有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都獲得m元獎金．假設(shè)顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是0.5，設(shè)顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額（單位：元）為隨機變量X．
（Ⅰ）求選出的4種不同型號商品中，洗衣機、電視機、空調(diào)都至少有一種型號的概率；
（Ⅱ）請寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，問該店若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎獎金要低于多少元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）求選出的4種不同型號商品中，洗衣機、電視機、空調(diào)都至少有一種型號包括洗衣機、電視機各一種型號，空調(diào)兩種型號；洗衣機兩種型號，電視機、空調(diào)各一種型號；電視機兩種型號，洗衣機、空調(diào)各一種型號，從而可求概率．
（Ⅱ）X的所有可能的取值為0，m，2m，3m，分別求出相應(yīng)的概率，即可寫出X的分布列，利用期望公式可求X的數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）要使促銷方案對商場有利，應(yīng)使顧客獲獎獎金總額的數(shù)學(xué)期望低于商場的提價數(shù)額，故可建立不等式，由此可求每次中獎最低獎金．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)選出的4種不同型號商品中，洗衣機、電視機、空調(diào)都至少有一種型號為事件A，
則P（A）=$\frac{2{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{24}{35}$．
（Ⅱ）X的所有可能的取值為0，m，2m，3m，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=m）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=2m）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）=\frac{3}{8}$，
P（X=3m）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
∴X的分布列為：

X	0	m	2m	3m
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴X的數(shù)學(xué)期望EX=$0×\frac{1}{8}+m×\frac{3}{8}+2m×\frac{3}{8}+3m×\frac{1}{8}$=1.5m．
（Ⅲ）要使促銷方案對商場有利，應(yīng)使顧客獲獎獎金總額的數(shù)學(xué)期望低于商場的提價數(shù)額，
因此應(yīng)有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中獎獎金要低于100元，才能使促銷方案對商場有利．

點評 本題考查利用概率知識解決實際問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)期望的計算，確定X的所有可能的取值是解題的關(guān)鍵．