Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x（2x-1），g（x）=ax-a（a∈R）．
（1）若y=g（x）為曲線y=f（x）的一條切線，求a的值；
（2）已知a＜1，若存在唯一的整數(shù)x₀，使得f（x₀）＜g（x₀），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)（m，n），求得切線的斜率，由切線的方程，可得a=e^m（2m+1），又n=am-a=e^m（2m-1），解方程可得a的值；
（2）函數(shù)f（x）=e^x（2x-1），g（x）=kx-k，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x₀使得f（x₀）在直線y=kx-k的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得-k＞f（0）=-1且f（-1）=-3e^-1≥-k-k，解關(guān)于k的不等式組可得．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），由題意可得a=e^m（2m+1），
又n=am-a=e^m（2m-1），
解方程可得，a=1或4${e}^{\frac{3}{2}}$；
（2）函數(shù)f（x）=e^x（2x-1），g（x）=ax-a
由題意知存在唯一的整數(shù)x₀使得f（x₀）在直線y=ax-a的下方，
∵f′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
∴當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取最小值-2${e}^{-\frac{1}{2}}$，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-1，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=e＞0，
直線y=ax-a恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）且斜率為a，
故-a＞f（0）=-1且f（-1）=-3e^-1≥-a-a，
解得$\frac{3}{2e}$≤a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和極值、最值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．