Question

15．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率為$\frac{1}{2}$，F(xiàn)₁、F₂分別為左、右焦點(diǎn)，過F₁垂直與長軸的弦長為3$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，以橢圓長軸AB為直徑的圓：x²+y²=a²，P為圓O上與A，B不重合的一點(diǎn)，設(shè)PA與橢圓交于D，設(shè)直線DF₂，PB的斜率分別為k₁，k₂，若k₁=λk₂，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把x=-c代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，可得$\frac{2^{2}}{a}$=3$\sqrt{2}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．聯(lián)立解出即可得出．
（2）A$（-2\sqrt{2}，0）$，B$（2\sqrt{2}，0）$，F(xiàn)₂$（\sqrt{2}，0）$．直線PB的方程為：$y={k}_{2}（x-2\sqrt{2}）$，則直線PA的斜率為-$\frac{1}{{k}_{2}}$，其方程為：y=-$\frac{1}{{k}_{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），與橢圓方程聯(lián)立化為$（3{k}_{2}^{2}+4）{x}^{2}$+16$\sqrt{2}$x+32-24${k}_{2}^{2}$=0，由于$-2\sqrt{2}+{x}_{D}$=$\frac{-16\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，解得x_D，y_D，當(dāng)x_D≠±2時(shí)，可得k₁=$\frac{-4{k}_{2}}{{k}_{2}^{2}-4}$．化為λ=$\frac{4}{4-{k}_{2}^{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）把x=-c代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∴$\frac{2^{2}}{a}$=3$\sqrt{2}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²．
聯(lián)立解出：c=$\sqrt{2}$，a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
（2）A$（-2\sqrt{2}，0）$，B$（2\sqrt{2}，0）$，F(xiàn)₂$（\sqrt{2}，0）$．
直線PB的方程為：$y={k}_{2}（x-2\sqrt{2}）$，
則直線PA的斜率為-$\frac{1}{{k}_{2}}$，其方程為：y=-$\frac{1}{{k}_{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{{k}_{2}}（x+2\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1}\end{array}\right.$，化為$（3{k}_{2}^{2}+4）{x}^{2}$+16$\sqrt{2}$x+32-24${k}_{2}^{2}$=0，
△＞0，
∴$-2\sqrt{2}+{x}_{D}$=$\frac{-16\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，
解得x_D=$\frac{6\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-8\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，y_D=$\frac{-12\sqrt{2}{k}_{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$，
x_D-$\sqrt{2}$=$\frac{6\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-8\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}-\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-12\sqrt{2}}{3{k}_{2}^{2}+4}$．
當(dāng)x_D≠±2時(shí)，
∴k₁=$\frac{-12\sqrt{2}{k}_{2}}{3\sqrt{2}{k}_{2}^{2}-12\sqrt{2}}$=$\frac{-4{k}_{2}}{{k}_{2}^{2}-4}$．
∵k₁=λk₂，∴$\frac{-4{k}_{2}}{{k}_{2}^{2}-4}$=λ•k₂．
化為λ=$\frac{4}{4-{k}_{2}^{2}}$，
∵k₂∈R，k₂≠±2，k₂≠0，
∴λ∈（-∞，0）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線點(diǎn)斜式、斜率計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．